Questão 148 do ENEM 2023 — Humanas
O mastro de uma bandeira foi instalado perpendicularmente ao solo em uma região plana. Devido aos fortes ventos, três cabos de aço, de mesmo comprimento, serão instalados para dar sustentação ao mastro. Cada cabo de aço ficará perfeitamente esticado, com uma extremidade num ponto P do mastro, a uma altura h do solo, e a outra extremidade, num ponto no chão, como mostra a figura.
Os cabos de aço formam um ângulo a com o plano do chão. Por medida de segurança, há apenas três opções de instalação: • opção I: h = 11 m e a = 30° • opção II: h = 12 m e a = 45° • opção III: h = 18 m e a = 60° A opção a ser escolhida é aquela em que a medida dos cabos seja a menor possível. Qual será a medida, em metro, de cada um dos cabos a serem instalados?
- A)
- B)
- C)
- D)
- E)
Gabarito oficial: alternativa C)
Para resolver, aplicamos a relação trigonométrica c = h/sen(α), calculando o comprimento do cabo para cada opção. Opção I: c = 11/sen30° = 22 m. Opção II: c = 12/sen45° = 12√2 m. Opção III: c = 18/sen60° = 12√3 m. A menor medida é 12√2 m, obtida pela Opção II.
Ver comentário de cada alternativa
- A) Por que está errada: Esse valor corresponde ao comprimento do cabo na Opção I (h = 11 m e α = 30°), calculado por c = 11/sen30° = 11/0,5 = 22 m. Porém, a questão pede a opção com o menor comprimento de cabo, e 22 m é o maior dos três valores calculados, não o menor.
- B) Por que está errada: Esse valor corresponde ao comprimento do cabo na Opção III (h = 18 m e α = 60°), calculado por c = 18/sen60° = 18/(√3/2) = 36/√3 = 12√3 m. Embora seja menor que 22 m, ainda é maior que 12√2 m ≈ 16,97 m, portanto não representa o menor comprimento possível.
- C) Por que está certa: Esse é o comprimento do cabo na Opção II (h = 12 m e α = 45°). Usando a relação sen(45°) = h/c, temos c = 12/sen45° = 12/(√2/2) = 12√2 m ≈ 16,97 m. Como esse valor é menor que 22 m (Opção I) e menor que 12√3 m ≈ 20,78 m (Opção III), a Opção II é a que garante o menor comprimento de cabo, conforme exigido pelo enunciado.
- D) Por que está errada: Esse valor não corresponde ao comprimento do cabo de nenhuma das três opções fornecidas no enunciado. O valor 6√6 não resulta de nenhuma aplicação correta da fórmula c = h/sen(α) com os dados do problema. Trata-se de um distrator que tenta confundir o aluno com manipulações algébricas incorretas.
- E) Por que está errada: Esse valor também não corresponde a nenhuma das três opções de instalação. O valor 6√3 ≈ 10,39 m é menor até mesmo que a própria altura h = 11 m da Opção I, o que seria fisicamente impossível, já que o cabo, sendo a hipotenusa do triângulo retângulo formado, precisa ter comprimento maior que a altura h (cateto oposto).
Treine com questões oficiais grátis
O banco do Toolspace tem as provas completas do ENEM com filtro por ano e área, gabarito comentado por IA e simulado por prova antiga.