Questão 136 do ENEM 2023 — Matemática
Um artista plástico esculpe uma escultura a partir de um bloco de madeira de lei, em etapas. Inicialmente, esculpe um cone reto com 36 cm de altura e diâmetro da base medindo 18 cm. Em seguida, remove desse cone um cone menor, cujo diâmetro da base mede 6 cm, obtendo, assim, um tronco de cone, conforme ilustrado na figura. Em seguida, perfura esse tronco de cone, removendo um cilindro reto, de diâmetro 6 cm, cujo eixo de simetria é o mesmo do cone original. Dessa forma, ao final, a escultura tem a forma de um tronco de cone com uma perfuração cilíndrica de base a base. O tipo de madeira utilizada para produzir essa escultura tem massa igual a 0,6 g por centímetro cúbico de volume. Utilize 3 como aproximação para π.
Qual é a massa, em grama, dessa escultura?
- A)1.198,8
- B)1.296,0
- C)1.360,8
- D)4.665,6
- E)4.860,0
Gabarito oficial: alternativa B)
O volume da escultura é obtido calculando o volume do tronco de cone (cone original menos cone removido) e subtraindo o volume do cilindro perfurante. A altura do cone menor é 12 cm (proporcional ao raio), resultando em V_tronco = 2808 cm³ e V_cilindro = 648 cm³, totalizando 2160 cm³. Multiplicando pela massa específica de 0,6 g/cm³, obtém-se 1296,0 g.
Ver comentário de cada alternativa
- A) Por que está errada: Esta alternativa corresponde a um volume de 1998 cm³ (1198,8 ÷ 0,6), o que indica erro no cálculo das dimensões geométricas. Um possível equívoco seria considerar a altura do cilindro perfurante como sendo a altura total (36 cm) em vez da altura do tronco (24 cm), ou calcular incorretamente a proporção do cone menor, alterando significativamente o volume final da escultura.
- B) Por que está certa: A alternativa está correta. O cone menor é semelhante ao maior com razão de semelhança r/R = 3/9 = 1/3, logo sua altura é h = 36/3 = 12 cm. O volume do tronco é V_tronco = (1/3)·3·9²·36 − (1/3)·3·3²·12 = 2916 − 108 = 2808 cm³. O cilindro perfurante tem raio 3 cm e altura 36 − 12 = 24 cm, portanto V_cilindro = 3·3²·24 = 648 cm³. Assim, V_escultura = 2808 − 648 = 2160 cm³, e a massa é 0,6 · 2160 = 1296,0 g, como solicitado pelo comando da questão.
- C) Por que está errada: Esta alternativa corresponde a um volume de 2268 cm³ (1360,8 ÷ 0,6), que é exatamente o volume obtido se a altura do cone menor fosse calculada como 8 cm em vez de 12 cm. Isso ocorre quando se erra a proporção, usando razão 8/36 = 2/9 ao invés da correta 1/3, o que reduz a altura do cilindro perfurante e, consequentemente, subtrai um volume menor do cilindro, gerando um resultado superior ao correto.
- D) Por que está errada: Esta alternativa apresenta um valor muito superior ao correto e corresponde a um volume de 7776 cm³ (4665,6 ÷ 0,6). Esse erro é típico de quem calcula o volume do cone original completo (V = 2916 cm³) usando a fórmula errada πR²H (sem dividir por 3), obtendo 8748 cm³, e depois comete erros adicionais nas subtrações. Portanto, o equívoco está na aplicação incorreta da fórmula do volume do cone.
- E) Por que está errada: Esta alternativa corresponde a um volume de 8100 cm³ (4860 ÷ 0,6), valor muito acima do correto. Esse resultado é obtido ao calcular o volume do cone original como πR²H = 3·81·36 = 8748 cm³ (esquecendo o fator 1/3 da fórmula do cone) e subtrair volumes também calculados incorretamente. Trata-se de uma confusão entre as fórmulas de volume de cone e cilindro, aplicando V = πr²h em vez de V = (1/3)πr²h.
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