Questão 138 do ENEM 2023 — Matemática
Visando atrair mais clientes, o gerente de uma loja anunciou uma promoção em que cada cliente que realizar uma compra pode ganhar um voucher para ser usado em sua próxima compra. Para ganhar seu voucher, o cliente precisa retirar, ao acaso, uma bolinha de dentro de cada uma das duas urnas A e B disponibilizadas pelo gerente, nas quais há apenas bolinhas pretas e brancas. Atualmente, a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bolinha preta na urna A é igual a 20% e a probabilidade de se escolher uma bolinha preta na urna B é 25%. Ganha o voucher o cliente que retirar duas bolinhas pretas, uma de cada urna. Com o passar dos dias, o gerente percebeu que, para a promoção ser viável aos negócios, era preciso alterar a probabilidade de acerto do cliente sem alterar a regra da promoção. Para isso, resolveu alterar a quantidade de bolinhas brancas na urna B de forma que a probabilidade de um cliente ganhar o voucher passasse a ser menor ou igual a 1%. Sabe-se que a urna B tem 4 bolinhas pretas e que, em ambas as urnas, todas as bolinhas têm a mesma probabilidade de serem retiradas.
Qual é o número mínimo de bolinhas brancas que o gerente deve adicionar à urna B?
- A)20
- B)60
- C)64
- D)68
- E)80
Gabarito oficial: alternativa C)
Para resolver, calculamos as probabilidades atuais e montamos uma inequação. Na urna B, com 4 bolinhas pretas, a probabilidade atual de 25% indica 12 brancas. Ao adicionar x brancas extras, a probabilidade de ganhar o voucher deve ser ≤ 1%. Resolvendo a inequação, encontramos x ≥ 64, logo o mínimo é 64 brancas adicionadas.
Ver comentário de cada alternativa
- A) Por que está errada: Com 20 bolinhas brancas adicionadas, a urna B teria 4 pretas e 32 brancas (total = 36). A probabilidade de ganhar seria (1/5) × (4/36) = 4/180 = 1/45 ≈ 2,22%, que é MAIOR que 1%. Portanto, 20 bolinhas não são suficientes para atingir o objetivo.
- B) Por que está errada: Com 60 bolinhas brancas adicionadas, a urna B teria 4 pretas e 72 brancas (total = 76). A probabilidade de ganhar seria (1/5) × (4/76) = 4/380 = 1/95 ≈ 1,05%, que ainda é MAIOR que 1%. Portanto, 60 bolinhas ainda não são suficientes.
- C) Por que está certa: Para que P(voucher) ≤ 1%, precisamos que (1/5) × 4/(16 + x) ≤ 1/100. Resolvendo: 4/(5(16 + x)) ≤ 1/100 → 400 ≤ 5(16 + x) → 400 ≤ 80 + 5x → 320 ≤ 5x → x ≥ 64. Com x = 64, a urna B terá 4 pretas e 76 brancas (total = 80), e P(voucher) = (1/5) × (4/80) = 4/400 = 1/100 = 1%, exatamente o limite exigido. Este é o valor MÍNIMO que satisfaz a condição.
- D) Por que está errada: Embora 68 brancas adicionadas também resultem em P(voucher) < 1%, esse valor NÃO é o mínimo. A questão pede o número MÍNIMO de bolinhas brancas. Como já mostramos que x ≥ 64 satisfaz a condição, o valor correto é 64 e não 68.
- E) Por que está errada: Com 80 bolinhas brancas adicionadas, a probabilidade seria (1/5) × (4/96) = 4/480 = 1/120 ≈ 0,83%, inferior a 1%. Embora atenda à condição, 80 é muito acima do mínimo necessário. A questão pede o número MÍNIMO, que é 64.
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