ENEM 2023MatemáticaQuestão 146
Questão 146 do ENEM 2023 — Matemática
Considere que os números colocados nos vértices do triângulo estejam em progressão aritmética de razão igual a 2. Nas condições propostas, quais as possíveis soluções para as somas dos números que formam os lados do triângulo?
- A)Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7.
- B)Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9.
- C)Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7 e outra em que as somas são iguais a 9.
- D)Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9 e outra em que as somas são iguais a 12.
- E)Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 10 e outra em que as somas são iguais a 11.
Gabarito oficial: alternativa E)
Os seis números (1 a 6) devem ser distribuídos nos três vértices e nos três pontos médios do triângulo, sendo que os vértices formam uma PA de razão 2. As únicas possibilidades para os vértices são {1, 3, 5} ou {2, 4, 6}. Exigindo que os três lados tenham a mesma soma, o primeiro caso produz soma 10 e o segundo, soma 11. Portanto, existem duas soluções possíveis, com somas 10 e 11.
Ver comentário de cada alternativa
- A) Por que está errada: A soma 7 não é obtida em nenhuma distribuição válida. Se os vértices forem {1, 3, 5}, os pontos médios restantes são {2, 4, 6}, e a soma uniforme dos lados resulta em 10, não em 7. Se os vértices forem {2, 4, 6}, os pontos médios são {1, 3, 5}, e a soma uniforme é 11. Logo, a soma 7 é impossível e não existe solução única nesses termos.
- B) Por que está errada: A soma 9 também não ocorre em nenhuma configuração válida. Para os vértices {1, 3, 5}, as somas dos lados são 4+p, 8+q e 6+r, com {p, q, r} = {2, 4, 6}, e a única soma uniforme possível é 10. Para os vértices {2, 4, 6}, a soma uniforme é 11. Portanto, a afirmação de que existe solução única com soma 9 está incorreta.
- C) Por que está errada: Esta alternativa erra nos valores das somas. Como demonstrado, as somas uniformes dos lados são 10 (quando os vértices são 1, 3, 5) e 11 (quando os vértices são 2, 4, 6). Nenhuma configuração válida produz soma 7 ou soma 9, pois os sistemas de equações correspondentes não admitem solução com os números restantes do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
- D) Por que está errada: Nem a soma 9 nem a soma 12 são obtidas. Para vértices {1, 3, 5}, a soma uniforme dos lados exige p = S−4, q = S−8, r = S−6, e {S−4, S−6, S−8} deve coincidir com {2, 4, 6}, o que só ocorre para S = 10. Para vértices {2, 4, 6}, obtém-se S = 11. Os valores 9 e 12 não satisfazem essas condições.
- E) Por que está certa: Os vértices em PA de razão 2 extraídos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6} são {1, 3, 5} ou {2, 4, 6}. No primeiro caso, os pontos médios restantes são {2, 4, 6} e, igualando as somas dos três lados (1+p+3 = 3+q+5 = 5+r+1), obtém-se S = 10, com distribuição p = 6, q = 2, r = 4. No segundo caso, os pontos médios são {1, 3, 5} e a soma uniforme é S = 11. Assim, há exatamente duas soluções, com somas 10 e 11, como afirma o comando da questão.
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