Questão 159 do ENEM 2023 — Matemática
Um agricultor é informado sobre um método de proteção para sua lavoura que consiste em inserir larvas específicas, de rápida reprodução. A reprodução dessas larvas faz com que sua população multiplique-se por 10 a cada 3 dias e, para evitar eventuais desequilíbrios, é possível cessar essa reprodução aplicando-se um produto X. O agricultor decide iniciar esse método com 100 larvas e dispõe de 5 litros do produto X, cuja aplicação recomendada é de exatamente 1 litro para cada população de 200 000 larvas. A quantidade total do produto X de que ele dispõe deverá ser aplicada de uma única vez.
Quantos dias após iniciado esse método o agricultor deverá aplicar o produto X?
- A)2
- B)4
- C)6
- D)12
- E)18
Gabarito oficial: alternativa D)
A população inicial é 100 larvas e cresce multiplicando por 10 a cada 3 dias. O agricultor dispõe de 5 litros do produto X, cada litro tratando 200.000 larvas, ou seja, capacidade total de 1.000.000 de larvas. Resolvendo a equação exponencial 100 · 10^(t/3) = 1.000.000, encontra-se t = 12 dias.
Ver comentário de cada alternativa
- A) Por que está errada: Em 2 dias a população ainda não atingiu o limite do produto. O crescimento segue a fórmula P(t) = 100 · 10^(t/3). Em 2 dias: P = 100 · 10^(2/3) ≈ 100 · 4,64 ≈ 464 larvas. Isso está muito abaixo de 1.000.000 de larvas. O aluno pode ter confundido os dias sem aplicar a exponencial corretamente.
- B) Por que está errada: Em 4 dias: P = 100 · 10^(4/3) ≈ 100 · 21,54 ≈ 2.154 larvas. Ainda está muito longe de 1.000.000. Quem escolhe essa opção provavelmente errou o cálculo do expoente ou não fez a conversão de litros para número de larvas tratáveis.
- C) Por que está errada: Em 6 dias: P = 100 · 10^(6/3) = 100 · 10² = 10.000 larvas. Embora represente um crescimento significativo, ainda é 100 vezes menor que o total de 1.000.000 de larvas que o produto pode tratar. O erro aqui pode ter sido pensar que a cada 3 dias basta um ciclo simples.
- D) Por que está certa: O agricultor dispõe de 5 litros de produto X, sendo 1 litro para cada 200.000 larvas, portanto a capacidade total é 5 × 200.000 = 1.000.000 de larvas. A população segue P(t) = 100 · 10^(t/3). Igualando: 100 · 10^(t/3) = 1.000.000 → 10^(t/3) = 10.000 = 10⁴ → t/3 = 4 → t = 12 dias. Assim, ao completar 12 dias, a população atinge exatamente 1.000.000 de larvas, sendo o momento correto para aplicar todo o produto.
- E) Por que está errada: Em 18 dias: P = 100 · 10^(18/3) = 100 · 10⁶ = 100.000.000 de larvas. A população já teria ultrapassado há muito o limite tratável pelo produto, o que causaria o desequilíbrio mencionado no enunciado. Quem escolhe 18 dias provavelmente confundiu a periodicidade do crescimento ou aplicou a fórmula de forma errada.
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