Questão 160 do ENEM 2023 — Matemática
Ao realizar o cadastro em um aplicativo de investimentos, foi solicitado ao usuário que criasse uma senha, sendo permitido o uso somente dos seguintes caracteres: • algarismos de 0 a 9; • 26 letras minúsculas do alfabeto; • 26 letras maiúsculas do alfabeto; • 6 caracteres especiais !, @, #, $, \*, &. Três tipos de estruturas para senha foram apresentadas ao usuário: • tipo I: formada por quaisquer quatro caracteres distintos, escolhidos dentre os permitidos; • tipo II: formada por cinco caracteres distintos, iniciando por três letras, seguidas por um algarismo e, ao final, um caractere especial; • tipo III: formada por seis caracteres distintos, iniciando por duas letras, seguidas por dois algarismos e, ao final, dois caracteres especiais. Considere as probabilidades de se descobrirem ao acaso, na primeira tentativa, as senhas dos tipos I, II e III, respectivamente.
Nessas condições, o tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, na primeira tentativa, é o
- A)Tipo I, pois p1 < p2 < p3.
- B)Tipo I, pois tem menor quantidade de caracteres.
- C)Tipo II, pois tem maior quantidade de letras.
- D)Tipo III, pois p3 < p2 < p1
- E)Tipo III, pois tem maior quantidade de caracteres.
Gabarito oficial: alternativa A)
Para descobrir qual senha tem menor probabilidade de ser acertada na primeira tentativa, calculamos o número total de combinações possíveis para cada tipo. O Tipo I, com 4 caracteres distintos dentre 68 disponíveis, gera 68×67×66×65 = 19.545.240 combinações. O Tipo II gera 52×51×50×10×6 = 7.956.000 combinações. O Tipo III gera 52×51×10×9×6×5 = 7.160.400 combinações. Como p = 1/n, quanto maior o número de combinações, menor a probabilidade, logo p₁ < p₂ < p₃, sendo o Tipo I o mais seguro.
Ver comentário de cada alternativa
- A) Por que está certa: A probabilidade de descobrir uma senha na primeira tentativa é 1 dividido pelo número total de combinações possíveis. O Tipo I oferece o maior número de combinações (68×67×66×65 = 19.545.240), resultando em p₁ ≈ 1/19.545.240. Comparando com p₂ ≈ 1/7.956.000 e p₃ ≈ 1/7.160.400, fica claro que p₁ < p₂ < p₃. Portanto, a senha do Tipo I apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, tornando-a a mais segura.
- B) Por que está errada: Ter menor quantidade de caracteres não garante, por si só, menor probabilidade de acerto. O que determina a segurança é o número total de combinações possíveis. O Tipo I, apesar de ter apenas 4 caracteres, usa 68 opções distintas em cada posição sem repetição, gerando mais combinações que os outros tipos com 5 ou 6 caracteres, pois os demais tipos restringem a escolha por categorias (letras, algarismos e especiais). O raciocínio da alternativa B é superficial e incorreto.
- C) Por que está errada: Ter maior quantidade de letras não significa menor probabilidade de descoberta. O Tipo II tem 52 opções para cada posição de letra, mas o total de combinações (7.956.000) é menor que o do Tipo I (19.545.240). Além disso, a afirmação é factualmente incorreta, pois o Tipo I também permite letras em todas as 4 posições, usando o mesmo universo de 52 letras. O critério decisivo é o número total de combinações, não a quantidade de um tipo específico de caractere.
- D) Por que está errada: A desigualdade apresentada está invertida. Como p = 1/n, o Tipo III, com 7.160.400 combinações, tem a MAIOR probabilidade (p₃ ≈ 1/7.160.400), e o Tipo I, com 19.545.240 combinações, tem a MENOR probabilidade (p₁ ≈ 1/19.545.240). Portanto, a relação correta é p₁ < p₂ < p₃, e não p₃ < p₂ < p₁. A senha do Tipo III é a mais fácil de ser descoberta ao acaso, não a mais difícil.
- E) Por que está errada: Ter maior quantidade de caracteres (6 posições) não garante menor probabilidade de descoberta. O Tipo III restringe cada posição a categorias específicas (2 letras, 2 algarismos, 2 especiais), reduzindo significativamente o número total de combinações possíveis para 7.160.400. Esse valor é inferior ao do Tipo I (19.545.240), que, apesar de ter apenas 4 caracteres, permite qualquer um dos 68 caracteres em cada posição, gerando mais combinações e, portanto, menor probabilidade de acerto.
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