Questão 161 do ENEM 2023 — Matemática
Uma loja vende seus produtos de duas formas: à vista ou financiado em três parcelas mensais iguais. Para definir o valor dessas parcelas nas vendas financiadas, a loja aumenta em 20% o valor do produto à vista e divide esse novo valor por 3. A primeira parcela deve ser paga no ato da compra, e as duas últimas, em 30 e 60 dias após a compra. Um cliente da loja decidiu comprar, de forma financiada, um produto cujo valor à vista é R$ 1 500,00. Utilize 5,29 como aproximação para 28.
A taxa mensal de juros compostos praticada nesse financiamento é de
- A)6,7%
- B)10%
- C)20%
- D)21,5%
- E)23,3%
Gabarito oficial: alternativa D)
O valor à vista é R$ 1.500,00. Com o acréscimo de 20%, o valor financiado fica R$ 1.800,00, gerando parcelas de R$ 600,00 pagas nos tempos 0, 1 e 2 meses. Igualando o valor presente das parcelas ao preço à vista e resolvendo a equação do 2º grau em x = 1/(1+i), obtém-se x ≈ 0,8225, logo i ≈ 21,5%.
Ver comentário de cada alternativa
- A) Por que está errada: Essa taxa não satisfaz a equação de valor presente das parcelas. Com i = 6,7%, o valor presente das parcelas seria 600 + 600/1,067 + 600/(1,067)² ≈ 600 + 562,32 + 527,10 ≈ 1.689,42, valor superior a R$ 1.500,00. Portanto, a taxa real precisa ser maior para que o valor presente caia para R$ 1.500,00.
- B) Por que está errada: Com i = 10%, o valor presente das parcelas seria 600 + 600/1,10 + 600/(1,10)² = 600 + 545,45 + 495,87 ≈ 1.641,32, ainda acima de R$ 1.500,00. Essa taxa não desvaloriza suficientemente as parcelas futuras para que o valor presente total iguale o preço à vista do produto.
- C) Por que está errada: Com i = 20%, o valor presente seria 600 + 600/1,20 + 600/(1,20)² = 600 + 500 + 416,67 ≈ 1.516,67. Embora esteja próximo, ainda é superior a R$ 1.500,00, indicando que a taxa correta é ligeiramente maior que 20%. O percentual de 20% corresponde ao acréscimo inicial do preço, mas não à taxa de juros do financiamento.
- D) Por que está certa: Montando a equação de valor presente: 600 + 600/(1+i) + 600/(1+i)² = 1.500. Dividindo por 600: 1 + x + x² = 2,5, onde x = 1/(1+i). Isso leva a x² + x − 1,5 = 0. Usando Bhaskara e a aproximação √7 = √28/2 = 5,29/2 = 2,645, obtém-se x = (−1 + 2,645)/2 = 0,8225, logo 1+i = 1/0,8225 ≈ 1,2158, ou seja, i ≈ 21,5%.
- E) Por que está errada: Com i = 23,3%, o valor presente das parcelas seria 600 + 600/1,233 + 600/(1,233)² ≈ 600 + 486,62 + 394,83 ≈ 1.481,45, valor inferior a R$ 1.500,00. Isso significa que a taxa é alta demais, desvalorizando excessivamente as parcelas futuras, o que não corresponde à condição do problema.
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