Questão 168 do ENEM 2023 — Matemática
Em um colégio público, a admissão no primeiro ano se dá por sorteio. Neste ano há 55 candidatos, cujas inscrições são numeradas de 01 a 55. O sorteio de cada número de inscrição será realizado em etapas, utilizando-se duas urnas. Da primeira urna será sorteada uma bola, dentre bolas numeradas de 0 a 9, que representará o algarismo das unidades do número de inscrição a ser sorteado e, em seguida, da segunda urna, será sorteada uma bola para representar o algarismo das dezenas desse número. Depois do primeiro sorteio, e antes de se sortear o algarismo das dezenas, as bolas que estarão presentes na segunda urna serão apenas aquelas cujos números formam, com o algarismo já sorteado, um número de 01 a 55.
As probabilidades de os candidatos de inscrição número 50 e 02 serem sorteados são, respectivamente,
- A)
- B)
- C)
- D)
- E)
Gabarito oficial: alternativa A)
O sorteio em duas etapas (unidades primeiro, dezenas depois) gera probabilidades diferentes para cada candidato. Quando se sorteia o dígito das unidades, a quantidade de bolas na segunda urna varia conforme o dígito sorteado. Para o candidato 50, há 5 opções de dezena (10,20,30,40,50); para o candidato 02, há 6 opções (02,12,22,32,42,52). Assim, P(50) = 1/10 × 1/5 = 1/50 e P(02) = 1/10 × 1/6 = 1/60.
Ver comentário de cada alternativa
- A) Por que está certa: Está correta. O sorteio ocorre em duas etapas. Para o número 50: primeiro sorteia-se o dígito 0 (probabilidade 1/10); com unidades = 0, os números válidos de 01 a 55 que terminam em 0 são 10, 20, 30, 40 e 50, ou seja, 5 opções de dezena, logo a chance de sair a dezena 5 é 1/5. Assim, P(50) = 1/10 × 1/5 = 1/50. Para o número 02: primeiro sorteia-se o dígito 2 (probabilidade 1/10); com unidades = 2, os números válidos que terminam em 2 são 02, 12, 22, 32, 42 e 52, ou seja, 6 opções de dezena, logo a chance de sair a dezena 0 é 1/6. Assim, P(02) = 1/10 × 1/6 = 1/60.
- B) Por que está errada: Está errada. Essa resposta assumiria que todos os 55 candidatos têm a mesma chance de serem sorteados, como em um sorteio simples de 1 a 55. Porém, o sorteio em etapas (unidades primeiro, dezenas depois com filtro) não distribui probabilidades uniformemente: candidatos cujo dígito das unidades permite mais combinações válidas na segunda urna têm menor chance individual, pois competem com mais opções.
- C) Por que está errada: Está errada. Essa resposta consideraria que o sorteio da dezena sempre tem 10 opções (0 a 9), ignorando o filtro descrito no enunciado. Após sortear o dígito das unidades, as bolas da segunda urna são reduzidas apenas àquelas que formam números válidos (01 a 55), ou seja, o número de opções de dezena varia (5 ou 6, dependendo do dígito sorteado), e não é fixo em 10.
- D) Por que está errada: Está errada. Essa resposta atribui a mesma probabilidade (1/50) aos dois candidatos. No entanto, quando o dígito das unidades é 0, há apenas 5 números válidos na segunda urna, resultando em P(50) = 1/50. Já quando o dígito é 2, há 6 números válidos, resultando em P(02) = 1/60 ≠ 1/50. As probabilidades são diferentes justamente porque o filtro da segunda urna tem tamanho diferente para cada dígito sorteado na primeira.
- E) Por que está errada: Está errada. Essa resposta inverte as probabilidades corretas. A probabilidade do candidato 50 é 1/50 (maior, pois com unidades = 0 há menos concorrentes na segunda urna) e a do candidato 02 é 1/60 (menor, pois com unidades = 2 há mais concorrentes). A alternativa troca os valores, atribuindo 1/60 ao candidato 50 e 1/50 ao candidato 02, o que contradiz o cálculo correto.
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