Questão 172 do ENEM 2023 — Matemática
Sejam _a_, _b_ e _c_ as medidas dos lados de um triângulo retângulo, tendo a como medida da hipotenusa. Esses valores _a_, _b_ e _c_ são, respectivamente, os diâmetros dos círculos _C1_ , _C2_ e _C3_, como apresentados na figura. Observe que essa construção assegura, pelo teorema de Pitágoras, que área (C1) = área (C2) + área (C3). Um professor de matemática era conhecedor dessa construção e, confraternizando com dois amigos em uma pizzaria onde são vendidas pizzas somente em formato de círculo, lançou um desafio: mesmo sem usar um instrumento de medição, poderia afirmar com certeza se a área do círculo correspondente à pizza que ele pedisse era maior, igual ou menor do que a soma das áreas das pizzas dos dois amigos. Assim, foram pedidas três pizzas. O professor as dividiu ao meio e formou um triângulo com os diâmetros das pizzas, conforme indicado na figura. A partir da medida do ângulo a, o professor afirmou que a área de sua pizza é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas.
A área da pizza do professor de matemática é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas, pois
- A)0° < a < 90°
- B)A = 90°
- C)90° < a < 180°
- D)A = 180°
- E)180° < a < 360°
Gabarito oficial: alternativa C)
A questão relaciona o Teorema de Pitágoras com a lei dos cossenos. Quando o triângulo é retângulo (α=90°), a²=b²+c² e as áreas são iguais. Quando α é obtuso (90°<α<180°), pela lei dos cossenos, a²>b²+c², logo a área da pizza do professor (proporcional a a²) supera a soma das áreas das outras duas (proporcional a b²+c²).
Ver comentário de cada alternativa
- A) Por que está errada: Quando α é agudo (0°<α<90°), temos cos(α)>0. Pela lei dos cossenos: a² = b² + c² − 2bc·cos(α), o que resulta em a² < b² + c². Isso significa que a área da pizza do professor seria MENOR que a soma das áreas das outras duas, contradizendo o enunciado.
- B) Por que está errada: Quando α=90°, o triângulo é retângulo e vale a²=b²+c² (Teorema de Pitágoras). As áreas seriam iguais: πa²/4 = πb²/4 + πc²/4. O professor afirmou que sua área é MAIOR, não igual.
- C) Por que está certa: Quando α é obtuso (90°<α<180°), temos cos(α)<0. Pela lei dos cossenos: a² = b² + c² − 2bc·cos(α). Como cos(α) é negativo, −2bc·cos(α)>0, logo a² > b² + c². Como as áreas dos círculos são proporcionais aos quadrados dos diâmetros (área = πd²/4), conclui-se que πa²/4 > πb²/4 + πc²/4, ou seja, a pizza do professor tem área maior que a soma das outras duas.
- D) Por que está errada: Se α=180°, os três segmentos seriam colineares e não formariam um triângulo. Portanto, essa situação é geometricamente impossível para formar um triângulo.
- E) Por que está errada: Em um triângulo, todos os ângulos internos são estritamente menores que 180°. Um ângulo interno entre 180° e 360° é impossível, pois a soma dos três ângulos internos de um triângulo é sempre 180°.
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