ENEM 2023MatemáticaQuestão 176
Questão 176 do ENEM 2023 — Matemática
Os números figurados pentagonais provavelmente foram introduzidos pelos pitagóricos por volta do século V a.C. As figuras ilustram como obter os seis primeiros deles, sendo os demais obtidos seguindo o mesmo padrão geométrico.
O oitavo número pentagonal é
- A)59
- B)83
- C)86
- D)89
- E)92
Gabarito oficial: alternativa E)
Os números pentagonais seguem a fórmula Pₙ = n(3n−1)/2, ou podem ser obtidos observando que as diferenças entre termos consecutivos formam uma PA com razão 3. Aplicando a fórmula para n = 8, obtemos P₈ = 8 × 23 / 2 = 92, ou somando as diferenças sucessivas a partir do sexto termo (51): 51 + 19 = 70 e 70 + 22 = 92.
Ver comentário de cada alternativa
- A) Por que está errada: Incorreta. O valor 59 não corresponde a nenhum número pentagonal. Esse resultado poderia ser obtido por um erro no cálculo das diferenças ou na aplicação da fórmula. Verificando: P₈ = 8(3·8 − 1)/2 = 8·23/2 = 92, não 59.
- B) Por que está errada: Incorreta. O valor 83 não corresponde ao oitavo número pentagonal. Esse resultado pode surgir de um erro aritmético ao somar as diferenças ou ao aplicar a fórmula. O valor correto é 92, pois as diferenças entre termos consecutivos seguem a PA 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22..., e a partir de P₆ = 51: 51 + 19 = 70; 70 + 22 = 92.
- C) Por que está errada: Incorreta. O valor 86 não é o oitavo número pentagonal. Esse erro pode ocorrer ao somar incorretamente as diferenças entre os termos. Utilizando a fórmula Pₙ = n(3n−1)/2 para n = 8, temos P₈ = 8 × 23 / 2 = 92.
- D) Por que está errada: Incorreta. O valor 89 não corresponde ao oitavo número pentagonal. Pode resultar de um pequeno erro na soma das diferenças ou na aplicação da fórmula. O resultado correto é P₈ = 8(3·8 − 1)/2 = 184/2 = 92.
- E) Por que está certa: Correta. A partir dos seis primeiros números pentagonais (1, 5, 12, 22, 35, 51), observa-se que as diferenças entre termos consecutivos são 4, 7, 10, 13, 16 — uma PA de razão 3. Prosseguindo o padrão: P₇ = 51 + 19 = 70 e P₈ = 70 + 22 = 92. Confirmando pela fórmula geral dos números pentagonais Pₙ = n(3n−1)/2: P₈ = 8(24−1)/2 = 8·23/2 = 92.
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